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14 février 2018 3 14 /02 /février /2018 15:54

Il existe beaucoup de démonstrations du théorème de Pythagore mais l'une des plus facile et des plus élégante fut donnée par le 20ème Président des Etats-Unis, James Garfield. assassiné en 1881 à l'âge de 50 ans.

Voici cette démonstration.

On prend 2 triangles rectangles ABC et A'B'C' identiques. On place les sommets C et B' de façon qu'ils coïncident et que les points A, C et A' soient alignés. L'angle BCC' est droit.

Un Président des Etats-Unis démontre le théorème de Pythagore

Nous allons calculer de deux façons différentes l'aire du trapèze ABC'A'. Rappelons que la formule donnant l'aire d'un trapèze rectangle est: petite base + grande base, le tout multiplié par la hauteur et divisé par 2.

Donc ici l'aire du trapèze ABC'A' est [(AB + A'C') x AA'] /2

AA' = c + b

c'est-à-dire: [(c + b) x (c + b)] / 2  soit (c + b)2 / 2

soit  ( c2 + b2 + 2bc ) / 2  =  (b2 + c2 )/2 + bc

 

Mais l'aire du trapèze est égale aussi à la somme des aires des trois triangles rectangles qui le composent soit: bc/2 + bc/2 + a2 / 2 = 2 bc/2 + a2 / 2 = bc + a2 / 2

Les deux formules jaunes représentant l'aire du même trapèze sont donc égales.

Donc: (b2 + c2 )/2 + bc = bc + a2 / 2

c'est-à-dire  en retranchant bc aux deux membres: de l' égalité  (b2 + c2 )/2 = a2 / 2

soit en multipliant les deux membres par 2:

 a = b2 + c2     

Et voilà la démonstration ! Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égale à la somme des carrés des côtés de l'angle droit. 

Facile, non ?

Voilà ce qu'à trouvé ce Président américain, pas tellement connu dans l'histoire politique des Etats-Unis

 

 

 

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