Un Président des Etats-Unis démontre le théorème de Pythagore

Il existe beaucoup de démonstrations du théorème de Pythagore mais l'une des plus facile et des plus élégante fut donnée par le 20ème Président des Etats-Unis, James Garfield. assassiné en 1881 à l'âge de 50 ans.

Voici cette démonstration.

On prend 2 triangles rectangles ABC et A'B'C' identiques. On place les sommets C et B' de façon qu'ils coïncident et que les points A, C et A' soient alignés. L'angle BCC' est droit.

Nous allons calculer de deux façons différentes l'aire du trapèze ABC'A'. Rappelons que la formule donnant l'aire d'un trapèze rectangle est: petite base + grande base, le tout multiplié par la hauteur et divisé par 2.

Donc ici l'aire du trapèze ABC'A' est [(AB + A'C') x AA'] /2

AA' = c + b

c'est-à-dire: [(c + b) x (c + b)] / 2  soit (c + b)² / 2

soit  ( c² + b² + 2bc ) / 2  =  (b² + c² )/2 + bc

Mais l'aire du trapèze est égale aussi à la somme des aires des trois triangles rectangles qui le composent soit: bc/2 + bc/2 + a² / 2 = 2 bc/2 + a² / 2 = bc + a² / 2

Les deux formules jaunes représentant l'aire du même trapèze sont donc égales.

Donc: (b² + c² )/2 + bc = bc + a² / 2

c'est-à-dire  en retranchant bc aux deux membres: de l' égalité  (b² + c² )/2 = a² / 2

soit en multipliant les deux membres par 2:

 a²  = b² + c²     

Et voilà la démonstration ! Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égale à la somme des carrés des côtés de l'angle droit. 

Facile, non ?

Voilà ce qu'à trouvé ce Président américain, pas tellement connu dans l'histoire politique des Etats-Unis